“如果是纯理论数学的话，两颗明珠自然是解决未解决的问题，或者发展新的理论和工具。
未解决的问题很好理解，比如著名的千禧年难题，黎曼猜想、杨-米尔斯理论等，不过这些都太高深了，数学里还有很多没这么难的未解决问题，比如在华夏很火的哥德巴赫猜想，还有最近华夏籍数学家刚解决的挂谷猜想。
发展新的理论和工具，这个也很好理解，比如牛顿莱布尼茨发明的微积分，格罗滕迪克发展概形论、范畴论等。”
“当然，这都是大牛们研究的东西，难度太高，我们普通人就算给我五百年，我也找不到突破，但这两个方向，一旦有成果，少说也是四大级别的，甚至能够大奖拿到手软，能够有一篇这样的成果，就可以吃一辈子了。”
“不过呢，蛇有蛇路，鼠有鼠道，我们这些普通人呢，也是有活路的。
我们可以将已有理论扩展至更广范围，或发现旧结论的新视角，重新诠释与推广，比如非欧几何对欧氏几何的推广，从经典群论到量子群的扩展，将实数分析工具推广到p进数域
当然，我举的例子也都是大佬们的成果，我们可以从简单的做起，比如将绝对值的概念从实数推广到复数
除此之外还可以对某类数学对象进行系统分类，或刻画其内在结构，比如有限单群的分类定理，紧致李群的表示分类
还可以尝试优化与简化，大名鼎鼎的陶哲轩，陶神当年在张一堂发表了孪生素数定理后，使用调和分析简化素数间距问题。
孪生素数定理首次证明了存在无穷多对间距小于7000万的素数对，但是陶神使用调和分析的方法，将这个间距从7000万缩小到了246！
这个成果同样是四大级别的！
然后还可以在已知对象中揭示隐藏的数学结构或现象，比如发现分形几何中的曼德博集合，模形式与椭圆曲线的联系
甚至还可以探讨数学基础和哲学，这些都是能够发表成果的，比如哥德尔不完备定理对数学基础的冲击。
还有诸如构造性证明，就是不依赖存在性定理，直接构造满足条件的对象；和反直觉现象与悖论，揭示违反直觉的数学现象，挑战传统认知，比如巴拿赫-塔斯基悖论。
这些也都是可以发表论文的，当然，这些都是小众研究，数学研究主流还是前面提到的六个方向！”
一口气打了这么多字，方文也累得够呛，放下手机拿起桌上的冰